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Connaissez-vous l’histoire du dernier théorème de Fermat ?

C’est l’histoire vraie d’un théorème mathématique dont la résolution a demandé l’implication d’une quantité impressionnante de théoriciens et de chercheurs. Plus particulièrement, celle de Andrew Wiles, qui a consacré plusieurs années de sa vie à la résolution de ce théorème.

Mais que dit exactement ce théorème ? Et d’où vient il ?

Vous connaissez certainement le fameux théorème de Pythagore, qui permet de calculer la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle grâce à une équation simple que vous avez sans doute stockée quelque part dans votre tête…

theoreme-fermat-1

c correspond à l’hypoténuse du triangle rectangle.
a et b correspondent à ses deux autres côtés.

Le théorème de Fermat, expose l’idée que les indices de cette équation ne peuvent être supérieurs à 2. Autrement dit, on ne peut pas poser les équations suivantes :

theoreme-fermat-2

et ainsi de suite…

theoreme-fermat-3

Le théorème de Pythagore présente donc une égalité qui n’est valable que dans un seul et unique cas…

Celui où n = 2.

On peut facilement comprendre la logique de ce théorème de manière moins abstraite. Imaginez par exemple que l’on divise un cube en deux parties égales. Ces deux parties ne peuvent pas être elles-mêmes des cubes.

Ce n’est toujours pas tout-à-fait clair pour vous ? Ne vous en faites pas, ce n’est pas tant le théorème qui nous intéresse ici, mais plutôt l’histoire de sa trouvaille et de sa résolution.

Au début, il y a Pierre de Fermat. Un mathématicien français du XVIIème siècle. Il lègue dans un de ces ouvrages, l’énonciation brève de son théorème. Le problème étant qu’il ne donne absolument aucune solution à celui-ci. Il écrit simplement qu’il “n’a pas assez de place dans la marge” pour expliquer le bien fondé de ce qu’il avance.

theoreme-fermat-wiles-diophantus

Dans les années 70’s, un mathématicien britannique tombe sur ce fameux théorème. Ce mathématicien c’est Andrew Wiles. Comme mentionné précédemment, celui-ci consacrera plusieurs années de sa vie à la résolution du théorème de Fermat.

Il faudra d’ailleurs attendre l’arrivée de nouvelles révolutions dans le domaine de la théorie des nombres, pour que Wiles puisse enfin réussir à résoudre le dernier théorème de Fermat. Il s’appuiera notamment sur les travaux de Taniyama Shimura, Flach-Kolyvagin et Iwasawa pour parvenir à trouver la solution.

Le point qui nous intéresse dans cette histoire, c’est que Wiles a fini par souligner l’idée que Fermat lui-même n’avait certainement pas pu trouvé la solution. Certains des principes mathématiques sur lesquels reposent cette solution, n’existaient pas encore au XVIIème siècle. Il manquait donc a Fermat des clés fondamentales à la résolution du problème. Autrement dit, le contexte scientifique de l’époque, posait déjà des limites bien plus contraignantes que celle de ne pas avoir assez de place dans la marge 🙂

À l’époque, le théorème de Fermat représentait un défi colossal. Aujourd’hui, nous sommes à nouveau face des problèmes qui nous semblent insurmontables et que des hordes de scientifiques tentent de résoudre. On peut donc dire que nous avons nous aussi nos propres “théorèmes de Fermat”.

Dans un précédent article, nous avons abordé l’idée que la prédiction de l’avenir pourrait en fait reposer sur une équation complexe à résoudre dont le résultat reste facile à vérifier…

Imaginez qu’un théoricien décide un jour de léguer au monde scientifique, une partie de cette fameuse équation. Seulement une partie, car quelques secondes avant de rendre son dernier soupir…

“il n’a plus de batterie dans son iPad” 🙂

Le monde scientifique s’en trouverait certainement bouleversé.
Tout le monde serait soudainement convaincu que la solution existe belle et bien !
Il ne resterait plus qu’à achever ce qui a été commencé.

Cette fascinante histoire nous prouve d’une certaine façon que si Fermat n’avait pas donner cette impulsion au monde des mathématiques, peut-être qu’il aurait fallut attendre encore très longtemps avant que ce théorème soit enfin résolu. Il est même largement probable que d’autres mathématiciens aient déjà pensé à ce problème bien avant Fermat. Ces derniers n’ont peut-être simplement pas eu la présence d’esprit de noter ce qu’ils avaient découvert, même si cela représentait quelque chose d’incomplet.

La découverte est avant tout une impulsion, qui permet au monde d’avancer vers autre chose. La résolution du théorème de Fermat ouvre sans doute une infinité de nouvelles perspectives. Peu importe ce que l’on découvre, même si c’est incomplet, cela mérite d’être partagé…

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